Taustaa kirjoitukset on koottu kirjoiksi, joihin voit tutustua klikkaamalla tästä.
Kultainen leikkaus - luojan koodi luonnossa
fii = 0,61803398874989...

Mikä on kaunein ja sopusuhtaisin, muotoihin, muodostelmiin, rytmiin ja tiloihin liittyvä suhde, joka esiintyy kaikkialla luonnossa, sen mikro- ja makromaailmassa, avaruuden ilmiöissä ja maailmankaikkeuden suhteissa? Tämä suhde on kiinnostanut rakentajia, muotoilijoita (käsityöläisiä), kuvantekijöitä, säveltäjiä sekä filosofeja, tähtitieteilijöitä ja matematiikan saloja tutkivia tiedemiehiä jo tuhansien vuosien ajan..

Muutoksen voima
Historian lähteistä tiedämme, että pythagoralaiset tutkivat 500-luvulla eKr. tätä jumalalliseksi suhteeksi kutusumaansa ilmiötä viisikulmion suhteissa. Kreikkalainen matemaatikko Euklides määritteli suhteelle 300-luvulla eKr. geometrisen järjestelmän ja laskennallisen kaavan. Lähtökohtana on janana jakaminen siten, että sen pienemmän osan suhde suurempaan on yhtä suuri kuin suuremman osan suhde koko janan pituuteen. Kaavana suhteet esitetään: 3:5, 5:8, 8:13, 13:21 jne. Merkittävää tässä lukusuhteessa on se, että kun pienemmän osan suhdetta verrataan suurempaan, saadaan päättymätön lukusarja (irrationaaliluku) 0,6180339... Kun suurempaa suhdetta verrataan pienempään, on tuloksena sama lukusarja lisättynä yhdellä, eli 1,6180339... Kysymyksessä on erikoinen käänteisluku, joka on tullut tutkijoita vastaan monessa eri tilanteessa, sekä matemaattisena suureena että tilojen välisissä suhteissa. Tämä mieliä kiehtova janan jakava suhde sai jo varhain nimen kultainen leikkaus tai kultainen suhde (sectio aurea). 1900-luvulla suhdeluvulle annettiin tunnus, kirjain fii = fii.

kuva
 

Kun kokonaisuudelle ei anneta laskennallista arvoa, kuuluu määritelmä: “Jakamaton kokonaisuus suhtautuu suurempaan osaan niin kuin tämä suhtautuu pienempään”. Mikä olisi jakamaton kokonaisuus? Uskontotieteilijät löysivät tässä jakamattomassa kokonaisuudessa ja sen jaetuissa suhteissa sidoksen Luojan ja luodun välille. Ihminen luotiin Jumalan kuvaksi, siksi ihmisen mitoissa löytyvät nämä jumalalliset suhteet, tekijän olemuksen mukaan. Raamatussa Luoja ilmoittaa itsensä myös suhteessa itseensä: Ihminen - Jumalan poika - Kolmiyhteinen Jumala (“Joka on nähnyt minut, on nähnyt Isän”. Joh. 14:9).

Kultaisen leikkauksen suhteet sisältyvät myös joihinkin tärkeisiin, Jumalan ihmiselle antamiin rakennusohjeisiin. Mm. vedenpaisumusta varten rakennetun arkin sekä liitonarkin mittoihin sisältyy kultaisen leikkauksen suhteet.

Egyptiläiset rakentajat käyttivät kultaisen leikkauksen lukuarvoja suunnitellessaan suuria rakenteita. Kreikkalaiset etsivät sopusuhtaisuutta ja kauneusarvoja. Kultaisen leikkauksen idea oli heillä yleisessä käytössä. Parthenonin temppelin (n. 450 eKr.) rakenteissa on käytetty kultaisen leikkauksen suhteita.

Luonnollinen on kaunista. Tähän tulokseen ovat esteettisten kokemusten etsijät tulleet eri historian aikoina. Kopioimalla Jumalan luomistyötä, ihminen on oppinut luomaan kauneutta ja ehjiä kokonaisuuksia.

Ihmisen jäsenissä kultaisen leikkauksen suhteet ilmenevät luuston rakenteissa. Kokonaisuuden toimintaa ajatellen, rakenteiden välisten kokosuhteiden muuttaminen toisenlaiseksi vaikeuttaisi liikkuvuutta ja jäsenten käyttöä. Jäsenten koon sopusuhtaisuus voidaankin havaita kaikissa eläimissä, joka on osoitus suunnitelmallisuudesta.

kuva
 

Esimerkiksi muurahaisen ruumiin osien suhteista ja jalkojen jaokkeista löytyvät kultaiset suhteet. Samoja havaintoja voidaan tehdä myös hyönteisten siipien ja suojakuvioiden muodoissa.

Kasvien kasvuvaiheet, perusrungosta lehvistöön, näyttävät myös noudattavan kultaisen suhteen rytmiikkaa. Erikoisen selvästi tämän voi havaita kukista, joissa on viisi terälehteä. Ne muodostavat viisisakaraisen tähtikuvion.

Hedelmöittyneen kukan kypsyessä hedelmäksi tai siemenkoteloksi, näkyy kukassa ollut tähtikuvio edelleen. Esimerkiksi halkaistun omenan siementila muodostaa kukan muotoisen viisi-kulmion. Kulmion ympärille muodostuu kehä, joka on viiden kerrannainen eli säännöllinen kymmenkulmio. Etäisyydet kehien välissä säilyvät kultaisen leikkauksen suhteessa.

Kultaiset suhteet viisikulmiossa
Viisisakarainen tähtikuvio on helppo piirtää. Säännöllisenä kuviona se sisältää mieltä kiehtovia mittoja ja kokonaisuuksia. Kuvion perusviivat koostuvat janoista, jotka suhtautuvat toisiinsa kultaisen leikkauksen suhteessa. Tähän “yksinkertaiseen” kuvioon sisältyy monta kultaisen leikkauksen suhteessa olevaa janaa: viisikulmion sivujen lävistäjien leikkauspisteet jakavat janat kultaisen leikkauksen suhteessa siten, että jokainen jana on sitä pienempään janaan kultaisen leikkauksen suhteessa. Kuviota voidaan suurentaa seuraavaan vaiheeseen, jolloin syntyy säännöllinen kymmenkulmio ja sen sisään suurempi tähtikuvio.

kuva
 

Kultaisen leikkauksen suhteet voidaan määritellä joko jakamalla jana osiin tai lisäämällä annettuun janaan osa, joka on halutussa suhteessa perusjanaan. Oheinen kuva selittää, miten jako tapahtuu: Jana A jaetaan kahtia (x). Pisteestä b piirretään pystyjana by, joka on A:n mittainen. Otetaan säteeksi jana xy, jolloin kaari leikkaa suoran pisteessä c. Näin saadaan janalle A jatke B, joka on kultaisen leikkauksen suhteessa janaan A. Kun jana B erotetaan janasta A (a-b) jakaa se vastaavasti janan A kultaisen leikkauksen mukaan kahteen osaan.

Tähtikuvion kerrannaiskuvioon on merkitty se, miten janojen suhteet liittyvät sarjana toisiinsa. Kuviota jatkettaessa syntyy suureneva pyörre, jolla on keskipiste.

Kultainen suorakulmio ja Fibonaccin spiraali
Fibonacci (Leonardo Pisalainen, 1180-1240) vakiinnutti nykyään käytössä olevat arabialaiset numerot ja niihin liittyvän laskentajärjestelmän Eurooppaan. Hänen perujaan on lukujono, jossa kukin luku on kahden edellisen luvun summa: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... Kun verrataan kahden perättäisen luvun suhdetta toisiinsa, saadaan luku joka on sitä lähempänä fiitä mitä pidemmälle jonossa edetään. Tätä lukusarjaa (kultaisen leikkauksen suhdelukuja) käytetään monissa yhteyksissä, esim. tilastotieteessä ja osakekurssien ennustuksissa.

kuva
 

Kun kultaisen leikkauksen suhteessa piirretystä suorakulmiosta erotetaan suurin mahdollinen neliö, jää jäljelle pienempi suorakulmio. Sen sivut noudattavat kultaisen leikkauksen suhteita. Kun siitä jälleen erotetaan neliö, on lopputulos jälleen sama. Syntyy pienenevien kultaisten suorakulmioitten sarja. Kun kunkin suorakulmion kultaiset jakopisteet yhdistetään, syntyy logaritminen spiraali (Fibonaccin spiraali), joka kuviona on tuttu mm. kotiloiden, kukkien ja sarvien muodoissa sekä ilmiönä vesialtaan tyhjentyessä veden kiertoliikkeessä ja galaksien spiraalikuvioissa.

Kun ympyrän 360 astetta jaetaan fiillä, saadaan 222,5 astetta. Tämä kulma esiintyy mm. kukan terälehtien välisenä kulmana. Perättäisten terälehtien kasvaessa aina vastakkaiselle puolelle, ne varjostavat vähiten toisiaan. Sama ilmiö havaitaan myös kasvien lehtien ja oksien välisessä kulmassa niiden kasvaessa ulos varresta.

Maailmankaikkeus ja sävelkulku
Aurinkokunnassamme kultaisen leikkauksen suhteita voidaan havaita mm. Venuksen ja Maan suhteessa Aurinkoon ja Saturnuksen renkaan osissa. Albert Einsteinin (1879-1955) suhteellisuusteorian laskelmissa, mustien aukkojen pöyrimisnopeuden laskentakaavassa, käytetään fiin arvoja.

Sävellystyössä on mukana kultaisen suhteen sarjoja. Musiikin rytmissä ja sointujen välisissä suhteissa ilmenee oktaavin 13 sävelaskeleen kokonaisuus, joka jakautuu kahdeksaan (pianossa valkoiset koskettimet) perussäveleeseen ja viiteen “korotukseen” (mustat koskettimet). Varhaiset italialaiset soitinrakentajat sovelsivat viulun rakenteeseen kultaisen leikkauksen suhteita. Tämä takasi kauniin ja puhtaan sointupohjan, joka on tullut kuuluisaksi mm, 1700-luvun alussa rakennetuissa Stradivarius- viuluissa.

kuva
 

Kultainen kolmio
Viisikulmio, joka perustuu kultaisen leikkauksen suhteisiin, sisältää kultaisen kolmion tukipisteet. Kun pisteestä B/ b piirretään kaksi kolmiota: ABC ja abc, ovat ne yhdenmuotoisia ja niiden sivut ovat kultaisen leikkauksen suhteessa toisiinsa. Näitä kolmioita sisältyy viisikulmion sisään useita.

Kun kolmion axd:n huippukulma x puolitetaan, saadaan kymmenesosa täysikulmasta eli 3600. Tulemme monivaiheisten, säännöllisten muotojen maailmaan, josta tutkijat tekevät jatkuvasti mielenkiintoisia havaintoja.

Tutkijoiden yllätykseksi kultaisen leikkauksen suhteet sekä arvoituksellinen fii tulevat usein vastaan, kun tutkitaan sekä molekyyli- että atomistason asioita. Elämän edellytyksenä olevan hiiliatomin tai elämää ylläpitävän perintöaineksen, kierteisen DNA:n muodoissa ovat kultaiset suhteet mukana. Luoja on sovittanut tunnuksensa sekä pienimpiin elämän rakenneosiin että maailmankaikkeuden mittoihin ulottuviin kokonaisuuksiin.

kuva
 

Ihmisen luomus
Renessanssin aikana kultainen leikkaus tuli jälleen muotiin sekä arkkitehtuurissa että taiteessa. Leonardo da Vinci (1452-1519) nimesi jakosuhteen nimellä “sektio aurea”, josta kultainen leikkaus -nimi on saanut alkunsa. Hän löysi uudelleen nämä suhteet sekä anatomisten tutkimustensa yhteydessä että muualta luonnosta. Hänen kuuluisa maalauksensa, Pyhä ehtoollinen, on selkeä näyttö suhteiden toimivuudesta. Hollantilainen maalari Rembrandt Harmensz van Rijn (1609-69) sovelsi taidokkaasti kultaisen leikkauksen suhteita suuriin töihinsä. Esimerkiksi Tulpinin anatomialuento-kuvassa hän erottaa tutkittavan ruumiin omaksi tasokseen ja nerokkaasti yhdistää voimalinjat, kuvan tasajaon ja kultaisen leikkauksen linjat. Näitä käyttäen hän ohjaa kuvassa olevien oppilaittensa katseet, erottaa opettajan oppilaista ja keskittää huomion kohtaan, joka on opetuksen aiheena.

kuva
 

kuva
 

Renessanssiajan suurten mestareiden oppilaat unohtivat pian kultaisen leikkauksen käyttökelpoisuuden ja sen käyttö väheni. Ranskan vallankumouksen ja koko Eurooppaa koskeneiden muutosten yhteydessä 1800-luvun puolivälissä tuli kultaisen leikkauksen idea uudelleen esille. Kuitenkin vasta 1900- luvun alussa kubistista taidesuuntaa edustavat taiteilijat huomasivat, kuinka merkityksellisiä mahdollisuuksia kultaisen leikkauksen ideaan liittyi. Mukaan tulivat myös arkkitehdit, jotka olivat kiinnostuneita sekä symmetriasta että yksilöllisestä muotoilusta.

kuva
 

Monet matemaattisia tieteitä tutkivat olettavat, että matemaattisia lukusarjoja sisältävä fii sekä kultaisen leikkauksen suhteet geometriassa kuuluvat lähinnä matematiikan piiriin - eivät taiteeseen.

Kultainen leikkaus ja kultainen kausi
1800-luvun päättyessä kultakauden taiteilijat vakiinnuttivat kultaisen leikkauksen käyttöä suomalaiseen taiteeseen. Selkeästi tämän voi havaita Albert Edelfeltin (1854-1905) tuotannossa. Monissa hänen suurtöissään on käytetty suunnilleen samaa maalauspinnan jakotapaa, jossa kuva-aiheet on eroteltu toisistaan kultaisen leikkauksen mukaisesti. Esimerkkeinä ohessa on kaksi hänen teostaan, joihin on merkitty kultaisen leikkauksen linjat sekäkuva-alan tasajako. Jumalanpalveluskuvassa on esillä myös jänniteväli, johon Edelfelt usein sijoitti lapsen.

kuva
 

Kristus ja Mataleena -kuvassa on eroteltu keskelle maalausta jäävät kultaisen leikkauksen sekä tasajaon muodostamat neliöt, joiden sisään taitelija sijoitti kuva-aiheeseen liittyvät tärkeät elementit: Mataleenan pään ja Kristuksen käden. Alhaalta ylös nousevalle janalle osuvat Mataleenan silmät ja Kristuksen molemmat kädet. Kuvan “jumalalliseen kolmioon” jää Kirstuksen pää.

Kuinka paljon kultaisen leikkauksen suomia mahdollisuuksia käytetään nykytaiteessa? Voihan olla, että kynän ja pensselin vaihtuessa tietokoneen hiireen, fiin numeraalinen voima ja kultaisen leikkauksen avaruudelliset suhteet ovat siirtyneet kuvantekijöiltä avaruutta ja mikromaailmaa havannoivien tutkijoiden käyttöön.


KP